SISTEM PERSAMAAN LINEAR ELIMiNASI GAUSS / ELEMINASI GAUS JORDAN
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
ELIMiNASI GAUSS / ELEMINASI GAUS JORDAN
Eliminasi Gauss adalah suatu metode untuk mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana lagi. Dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.
Ciri ciri Metode Gauss adalah
- Jika suatu baris tidak semua nol, maka bilangan pertama yang tidak nol adalah 1 (1 utama)
- Baris nol terletak paling bawah
- 1 utama baris berikutnya berada dikanan 1 utama baris diatasnya
- Dibawah 1 utama harus nol
Eliminasi Gauss Jordan
Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhana lagi. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris. Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks.
Metode ini digunakan untuk mencari invers dari sebuah matriks.Prosedur umum untuk metode eliminasi Gauss-Jordan ini adalah
1. Ubah sistem persamaan linier yang ingin dihitung menjadi matriks augmentasi.
2. Lakukan operasi baris elementer pada matriks augmentasi (A|b) untuk mengubah matriks
A menjadi dalam bentuk baris eselon yang tereduksi
Contoh Soal Untuk Gauss dan Gauss jordan
Cari Nilai X1,X2,X3 pada persamaan dibawah ini menggunakan eliminasi gauss dan eliminasi gauss jordan
2X1 + X2 + 4X3 = 8
3X1 + 2X2 + X3 = 10
X1 + 3X2 + 3X3 = 8
Berikut adalah penyelesaiannya :
Eliminasi Gauss
Langkah terakhir adalah substitusikan balik dari bawah jadi
X3 = 0.538
X2 - 0.25(X3) = 1.25
X2 = 1.25 + 0.25(0.538)
X2 = 1.384
X1 - 2X2 + X3 = 0
X1 = 2X2 - X3
X1 = 2(1.384) - 0.538
X1 = 2.23
Jadi X1 = 2.23, X2 = 1.384, X3 = 0.538
Penyelesaian dengan Eliminasi Gauss Jordan :
Sebenarnya hanya tinggal melanjutkan dari langkah eliminasi gauss seperti di tambahkan langkah 8 sampai langkah 10, tapi saya mengulanginya kembali dari awal.
Jadi Isinya sama seperti pada Eliminasi Gauss X1 = 2.23, X2 = 1.384, X3 = 0.538
Kekurangan dan Kelebihan
Metode eliminasi gauss-seidel digunakan untuk menyelesaikan SPL yg berukuran kecil karena metode ini lebih efisien. Dengan metode iterasi Gauss-Seidel pembulatan dapat diperkecil karena dapat meneruskan iterasi sampai solusinya seteliti mungkin sesuai dengan batas sesatan yang diperbolehkan.
Kelemahan dari metode ini adalah masalah pivot (titik tengah) yang harus benar–benar diperhatikan, karena penyusun yang salah akan menyebabkan iterasi menjadi divergen dan tidak diperoleh hasil yang benar
Komentar